מדריכיםחשיבה כמותית
גאומטריה לפסיכומטרי: נוסחאות, משפטים ודוגמאות
הגאומטריה לפסיכומטרי: זוויות, משולשים, דמיון, מרובעים, מעגלים, גופים ומערכת צירים. טבלאות נוסחאות, מלכודות נפוצות ו־8 דוגמאות פתורות.
בקצרה
- הגאומטריה בבחינה: ישרים, משולשים, מרובעים, מצולעים, מעגלים, גופים (תיבה, גליל, חרוט, מנסרה, פירמידה) ומערכת צירים.
- רוב הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות, אבל דמיון משולשים, משפטי מעגל ומשולש 45°־45°־90° לא מופיעים בו.
- הסרטוטים אינם בהכרח לפי קנה מידה: מה שנראה שווה או ישר־זווית לא בהכרח כזה.
- אין טריגונומטריה: משולשים מיוחדים פותרים בעזרת יחסי הצלעות שלהם.
- שאלה קשה נפתחת לרוב בעזרת זווית ישרה נסתרת או קו עזר אחד.
בעמוד הזה
איזו גאומטריה צריך לפסיכומטרי
לפי מאל״ו, תחום החשיבה הכמותית כולל תכונות של צורות גאומטריות (ישרים, משולשים, מרובעים, מצולעים ומעגלים), גופים (תיבה, גליל, חרוט, מנסרה ופירמידה) ומערכת צירים. הרמה לא עולה על בגרות 3 יחידות, ואין טריגונומטריה. לכן כל מה שבדרך כלל פותרים בסינוס וקוסינוס, כאן פותרים בפיתגורס, במשולשים מיוחדים ובדמיון.
דף הנוסחאות שבתחילת כל פרק כמותי כולל את רוב נוסחאות השטח והנפח, את משפט פיתגורס ואת יחס הצלעות במשולש 30°־60°־90° (סקירה מלאה של הדף במדריך לחשיבה כמותית). הוא לא כולל משפטים: לא דמיון, לא משפטי מעגל ולא כללי זוויות בין ישרים מקבילים. את אלה צריך לדעת, ולדעת מתי להשתמש בהם.
זוויות וישרים
| מצב | הכלל |
|---|---|
| זוויות צמודות (על ישר אחד) | סכומן 180° |
| זוויות קודקודיות | שוות |
| זוויות סביב נקודה | סכומן 360° |
| שני ישרים מקבילים וחותך: זוויות מתאימות | שוות |
| שני ישרים מקבילים וחותך: זוויות מתחלפות | שוות |
| שני ישרים מקבילים וחותך: זוויות חד־צדדיות (באותו צד של החותך, בין המקבילים) | סכומן 180° |
הכלל המעשי: בין שני ישרים מקבילים שנחתכים על ידי ישר שלישי יש רק שני גדלים של זוויות. כל זווית חדה שווה לכל זווית חדה אחרת, וכל זווית חדה ועוד כל זווית קהה נותנות 180°.
משולשים
| נושא | מה צריך לדעת |
|---|---|
| סכום זוויות | 180° |
| זווית חיצונית | שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה |
| צלעות וזוויות | מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר |
| אי־שוויון המשולש | כל צלע קטנה מסכום שתי האחרות וגדולה מההפרש ביניהן |
| שטח | בסיס × גובה ÷ 2 (הגובה מאונך לבסיס, גם אם הוא נופל מחוץ למשולש) |
| שווה־שוקיים | זוויות הבסיס שוות; הגובה לבסיס הוא גם תיכון וחוצה זווית |
| שווה־צלעות (צלע a) | כל הזוויות 60°; גובה (a√3)/2; שטח (a²√3)/4 |
| פיתגורס | במשולש ישר־זווית: ניצב² + ניצב² = יתר² |
| שלשות פיתגוריות | 3־4־5, 5־12־13, 8־15־17, 7־24־25 וכל כפולה שלהן (6־8־10, 9־12־15) |
| משולש 30°־60°־90° | הצלעות ביחס 1 : √3 : 2 (הניצב מול 30° הוא חצי היתר) |
| משולש 45°־45°־90° | הצלעות ביחס 1 : 1 : √2 |
| תיכון ליתר | במשולש ישר־זווית, התיכון ליתר שווה לחצי היתר |
דמיון משולשים
שני משולשים דומים אם יש להם שתי זוויות שוות (ואז גם השלישית שווה). המצב הנפוץ בבחינה: קו שמקביל לאחת מצלעות המשולש וחותך את שתי האחרות יוצר משולש קטן דומה למשולש הגדול. אם יחס הדמיון הוא k, אז:
- כל הצלעות, הגבהים וההיקפים ביחס k.
- השטחים ביחס k². אם הצלעות פי 2, השטח פי 4.
- בגופים דומים, הנפחים ביחס k³.
בדף הנוסחאות מופיע מקרה קרוב: ישרים מקבילים שחותכים שתי שוקיים יוצרים עליהן קטעים פרופורציוניים. את כלל השטחים צריך לזכור לבד.
מרובעים ומצולעים
| צורה | שטח | עוד תכונות |
|---|---|---|
| מלבן (a על b) | a × b | אלכסון √(a² + b²); האלכסונים שווים וחוצים זה את זה |
| ריבוע (צלע a) | a², או אלכסון² ÷ 2 | אלכסון a√2; האלכסונים מאונכים |
| מקבילית | בסיס × גובה | צלעות נגדיות שוות; זוויות סמוכות סכומן 180° |
| מעוין | מכפלת האלכסונים ÷ 2 | כל הצלעות שוות; האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה |
| טרפז (בסיסים a ו־b) | (a + b) × h ÷ 2 | שני הבסיסים מקבילים |
| מצולע בעל n צלעות | — | סכום הזוויות הפנימיות (n − 2) × 180°; סכום הזוויות החיצוניות 360° |
| מצולע משוכלל | — | כל זווית פנימית: (n − 2) × 180° ÷ n. במשושה משוכלל: 120° |
משושה משוכלל מתחלק לשישה משולשים שווי־צלעות, וזה שימושי מאוד בשאלות שטח. מלבן שמחולק באלכסון הוא שני משולשים ישרי־זווית חופפים.
מעגל
| גודל או משפט | נוסחה או כלל |
|---|---|
| שטח העיגול | πr² |
| היקף המעגל | 2πr |
| שטח גזרה עם זווית מרכזית x° | πr² × x ÷ 360 |
| אורך קשת עם זווית מרכזית x° | 2πr × x ÷ 360 |
| זווית היקפית | חצי מהזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת |
| זווית היקפית שנשענת על קוטר | 90° |
| משיק | מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה |
| שני משיקים מנקודה אחת | הקטעים מהנקודה עד נקודות ההשקה שווים |
כל הקטעים מהמרכז אל המעגל הם רדיוסים, ולכן שווים. כשמחברים את המרכז לשתי נקודות על המעגל מקבלים משולש שווה־שוקיים, וזה אחד מקווי העזר השימושיים ביותר.
גופים
| גוף | נפח | שטח פנים או הערה |
|---|---|---|
| תיבה (a, b, c) | a × b × c | 2ab + 2bc + 2ac |
| קובייה (צלע a) | a³ | 6a²; אלכסון הקובייה a√3 |
| גליל (רדיוס r, גובה h) | πr²h | מעטפת 2πrh; שטח פנים 2πr² + 2πrh |
| חרוט (רדיוס r, גובה h) | πr²h ÷ 3 | שליש מגליל עם אותו בסיס ואותו גובה |
| מנסרה ישרה | שטח הבסיס × גובה | תיבה וגליל הם מקרים פרטיים |
| פירמידה (בסיס S, גובה h) | S × h ÷ 3 | שליש ממנסרה עם אותו בסיס ואותו גובה |
שאלות גופים רבות הן שאלות של ״העברת נוזל״: נפח לא משתנה כשמעבירים אותו מכלי לכלי. כותבים שני ביטויים לאותו נפח ומשווים.
מערכת צירים
| גודל | נוסחה |
|---|---|
| מרחק | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), כלומר פיתגורס |
| אמצע הקטע | ממוצע ה־x וממוצע ה־y |
| שיפוע | (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) |
| משוואת ישר | y = mx + b, כאשר m השיפוע ו־b נקודת החיתוך עם ציר y |
| ישרים מקבילים | שיפועים שווים |
| ישרים מאונכים | מכפלת השיפועים היא −1 |
כשאין נוסחה בראש, סרטטו: מרחק בין שתי נקודות הוא היתר של משולש ישר־זווית שהניצבים שלו הם הפרש ה־x והפרש ה־y.
המלכודות הקלאסיות
- ״לא לפי קנה מידה״: הסרטוטים אינם בהכרח מדויקים. זווית שנראית ישרה, צלעות שנראות שוות או נקודה שנראית באמצע הקטע הן לא נתון. מה שמותר להניח: קו שנראה ישר הוא ישר.
- זוויות ישרות נסתרות: זווית היקפית שנשענת על קוטר, משיק ורדיוס, אלכסוני מעוין וריבוע, גובה במשולש. כשמופיע קוטר או משיק, חפשו את ה־90°.
- קווי עזר: הורדת גובה, חיבור המרכז לנקודות על המעגל, העברת אלכסון או חלוקת צורה מורכבת למלבנים ומשולשים. אם שאלה נראית חסרת נתונים, כנראה חסר קו.
- שטח מוצלל: כמעט תמיד מחשבים שטח גדול ומחסירים ממנו את מה שלא מוצלל.
- ״בהכרח״ מול ״ייתכן״: כשהשאלה שואלת מה נכון בהכרח, מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי לפסול תשובה. נסו לסרטט צורה אחרת שעומדת בנתונים.
- יחידות: שטח ביחידות ריבועיות, נפח ביחידות מעוקבות. אם האורך כפול, השטח פי 4 והנפח פי 8.
- תשובות עם π ושורשים: כדי להשוות, השתמשו ב־π ≈ 3.14, √2 ≈ 1.41, √3 ≈ 1.73.
סדר עבודה בשאלת גאומטריה
- קראו את השאלה עד הסוף וסמנו מה מבקשים: אורך, זווית, שטח, או יחס בין שטחים.
- העבירו את כל הנתונים לסרטוט: אורכים, זוויות, סימני שוויון וסימני מקבילות. נתון שכתוב רק בטקסט קל לשכוח.
- השלימו את מה שנובע מיד: זוויות צמודות וקודקודיות, זוויות בסיס במשולש שווה־שוקיים, רדיוסים שווים, זוויות ישרות נסתרות.
- חפשו צורה מוכרת: משולש ישר־זווית עם שלשה פיתגורית, משולש מיוחד, משולשים דומים. אם אין, נסו קו עזר.
- בדקו את התשובה מול ההיגיון: חלק קטן מהשלם, יתר ארוכה מכל ניצב, זווית חדה קטנה מ־90°.
שמונה דוגמאות פתורות, מהקל לקשה
אין כאן סרטוטים, ולכן כל צורה מתוארת במילים. מומלץ לסרטט אותה בעצמכם לפני שקוראים את הפתרון. זה בדיוק התרגיל שהבחינה דורשת.
שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. שתי זוויות חד־צדדיות (באותו צד של החותך, בין המקבילים) הן 3x + 10 מעלות ו־5x + 10 מעלות. מה גודל הזווית הקטנה מביניהן?
- (1)20°
- (2)70°
- (3)80°
- (4)110°
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
זוויות חד־צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל־180°:
(3x + 10) + (5x + 10) = 180.
8x + 20 = 180, ולכן x = 20.
הזוויות: 3 × 20 + 10 = 70° ו־5 × 20 + 10 = 110°. הקטנה היא 70°.
תשובה (1) היא הערך של x, לא של הזווית. קראו מה השאלה מבקשת.
במשולש ABC נתון AB = AC, והזווית A היא 40°. מאריכים את הצלע BC מעבר לנקודה C עד לנקודה D. מה גודל הזווית ACD?
- (1)70°
- (2)100°
- (3)110°
- (4)140°
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
המשולש שווה־שוקיים (AB = AC), ולכן זוויות הבסיס B ו־C שוות: (180 − 40) ÷ 2 = 70°.
הזווית ACD צמודה לזווית ACB, ולכן 180 − 70 = 110°.
בדרך אחרת: זווית חיצונית שווה לסכום שתי הפנימיות שאינן צמודות לה, 40 + 70 = 110°.
אורך צלע של משולש שווה־צלעות הוא 6. מה שטח המשולש?
- (1)18
- (2)9√3
- (3)18√3
- (4)6√3
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
הגובה מחלק את המשולש לשני משולשים של 30°־60°־90° עם יתר 6 וניצב קצר 3.
לפי פיתגורס, הגובה: √(6² − 3²) = √27 = 3√3.
השטח: 6 × 3√3 ÷ 2 = 9√3 (כ־15.6).
בדיקה בנוסחה: (a²√3)/4 = 36√3 ÷ 4 = 9√3.
המשולש ABC חסום במעגל, והצלע AB היא קוטר של המעגל. אורך AB הוא 10 ואורך AC הוא 6. מה שטח המשולש ABC?
- (1)24
- (2)30
- (3)40
- (4)48
לתשובה ולהסבר
התשובה: (1)
הזווית C היא זווית היקפית שנשענת על קוטר, ולכן היא 90°. השאלה לא אומרת את זה, וזה כל העניין.
המשולש ישר־זווית עם יתר AB = 10 וניצב AC = 6. לפי פיתגורס BC = √(100 − 36) = 8 (שלשה 6־8־10).
השטח: 6 × 8 ÷ 2 = 24.
תשובה (2) מתקבלת אם מכפילים את 10 ב־6 ומחלקים ב־2, כאילו AB הוא בסיס ו־AC גובה. זה לא נכון.
במשולש ABC הנקודה D נמצאת על AB והנקודה E על AC, כך ש־DE מקביל ל־BC. נתון: AD = 4, DB = 2, ושטח המשולש ADE הוא 20. מה שטח הטרפז DBCE?
- (1)10
- (2)25
- (3)30
- (4)45
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
DE מקביל ל־BC, ולכן המשולש ADE דומה למשולש ABC.
יחס הדמיון: AD ÷ AB = 4 ÷ 6 = 2/3.
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: 4/9.
שטח ABC: 20 ÷ (4/9) = 45.
שטח הטרפז: 45 − 20 = 25.
תשובה (4) היא שטח המשולש כולו, ותשובה (3) מתקבלת אם שוכחים להעלות בריבוע (20 ÷ 2/3 = 30).
ריבוע שאורך צלעו 4 חסום במעגל (כל ארבעת קודקודיו על המעגל). מה השטח שבתוך העיגול ומחוץ לריבוע?
- (1)16π − 16
- (2)8π − 16
- (3)4π − 16
- (4)8π − 8
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
אלכסון הריבוע הוא קוטר המעגל (זווית הריבוע היא 90°, והיא נשענת על האלכסון).
האלכסון: 4√2, ולכן הרדיוס 2√2.
שטח העיגול: π × (2√2)² = 8π.
שטח הריבוע: 16.
השטח המבוקש: 8π − 16 (כ־9.1).
פסילה מהירה: 4π − 16 שלילי, ולכן לא ייתכן.
חרוט שרדיוס בסיסו 3 וגובהו 8 מלא במים. שופכים את כל המים לכלי גלילי שרדיוס בסיסו 2. לאיזה גובה יגיעו המים בגליל?
- (1)4
- (2)6
- (3)8
- (4)18
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
נפח החרוט: π × 3² × 8 ÷ 3 = 24π.
נפח המים בגליל: π × 2² × h = 4πh.
הנפח נשמר: 4πh = 24π, ולכן h = 6.
תשובה (4) מתקבלת אם שוכחים לחלק ב־3 בנפח החרוט (72π ÷ 4π = 18).
הנקודות (−1, 2) ו־(5, 10) הן קצות קוטר של מעגל. מה שטח העיגול?
- (1)10π
- (2)25π
- (3)50π
- (4)100π
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
אורך הקוטר הוא המרחק בין הנקודות: הפרש ה־x הוא 6 והפרש ה־y הוא 8.
לפי פיתגורס: √(36 + 64) = √100 = 10.
הרדיוס 5, ולכן השטח π × 5² = 25π.
תשובה (4) מתקבלת אם מציבים את הקוטר במקום הרדיוס.
איך מתרגלים גאומטריה
- סרטטו תמיד: גם כשיש סרטוט, העתיקו את מה שחשוב לטיוטה וכתבו עליו כל נתון וכל מה שגיליתם.
- כתבו על הסרטוט, לא בצד: זווית שחישבתם, צלע שמצאתם, סימון של קטעים שווים. רוב הפתרונות מתגלים מהסרטוט המלא.
- שננו את הטבלאות: יחסי הצלעות במשולשים המיוחדים ושלשות פיתגוריות חוסכים חישובי שורשים.
- נתחו טעויות: בגאומטריה, רוב הטעויות הן הנחה מהסרטוט או קריאה לא נכונה של מה שנשאל. רשמו איזו מהן הייתה.
- תרגלו בזמן: שאלת גאומטריה שלוקחת שלוש דקות בבית תיקח יותר בבחינה. השעון לפסיכומטרי עוזר להתאמן בקצב של פרק.
שאלות נפוצות
האם יש טריגונומטריה בפסיכומטרי?
אילו נוסחאות גאומטריה מופיעות בדף הנוסחאות?
אפשר למדוד את הסרטוט כדי לנחש?
האם יש שאלות על כדור?
מה עושים כששאלה נראית חסרת נתונים?
מקורות
רוצים לתרגל? ב־Summit 800 יש מבחן מיון, תוכנית עד יום הבחינה ו־3,057 שאלות עם הסבר. לנסות בחינם