מדריכיםחשיבה כמותית
בעיות מילוליות בפסיכומטרי: תנועה, הספק, אחוזים ועוד
איך פותרים בעיות מילוליות בפסיכומטרי: תנועה, הספק, אחוזים ורווח, תערובות, יחסים, גילאים, קומבינטוריקה, הסתברות וממוצעים, עם דוגמאות פתורות.
בקצרה
- בעיות מילוליות הן חלק מ״שאלות ובעיות״, הסוג הנפוץ ביותר בפרקי החשיבה הכמותית.
- רוב הבעיות שייכות לכמה משפחות קבועות, ולכל משפחה יש תבנית פתרון.
- בדף הנוסחאות יש נוסחאות לדרך, להספק, לאחוזים ולעצרת. צירופים, הסתברות וממוצעים לא מופיעים בו.
- השלב הקשה הוא התרגום: להגדיר משתנה, לסדר את הנתונים בטבלה, ורק אז לחשב.
- כשקשה לבנות משוואה, מציבים את התשובות ובודקים איזו מתאימה.
בעמוד הזה
שיטה כללית לכל בעיה מילולית
לפי מאל״ו, חלק מהשאלות בתחום הן בעיות מילוליות שצריך קודם לתרגם לשפה מתמטית. מאל״ו מונה בין נושאי התחום בעיות דרך והספק, אחוזים, ממוצעים, קומבינטוריקה והסתברות. החשבון עצמו בבעיות האלה פשוט. מה שמפיל הוא קריאה חפוזה ותרגום לא מדויק. ארבעה צעדים שעובדים כמעט תמיד:
- מה שואלים? קראו את שורת השאלה וסמנו בדיוק מה מבוקש: גיל האב או גיל הבן, המחיר המקורי או המחיר אחרי ההנחה, הזמן בשעות או בדקות.
- הגדירו משתנה: בדרך כלל את מה ששואלים עליו, או את הגודל שממנו קל לבטא את כל השאר.
- סדרו בטבלה: לכל משפחה יש טבלה משלה (מהירות־זמן־דרך, הספק־זמן־עבודה, עכשיו־אז). הטבלה הופכת את המשפטים למשוואה.
- בדקו: הציבו את התוצאה בסיפור. האם היא הגיונית? האם זה מה ששאלו?
בעיות תנועה
הנוסחה: דרך = מהירות × זמן (בדף הנוסחאות היא מופיעה כ״מהירות = דרך ÷ זמן״). הטבלה: שורה לכל גוף שזז, ועמודות מהירות, זמן ודרך. הכללים:
- נעים זה לקראת זה: המהירויות מתחברות. הזמן עד הפגישה = המרחק ההתחלתי ÷ סכום המהירויות.
- נעים באותו כיוון: המהירויות מתחסרות. הזמן עד ההשגה = הפער ÷ הפרש המהירויות.
- מהירות ממוצעת: כל הדרך ÷ כל הזמן. היא אינה הממוצע של המהירויות כשהזמנים שונים.
- יחידות: אם המהירות בקמ״ש, הזמן בשעות. 15 דקות הן 0.25 שעה, 40 דקות הן 2/3 שעה.
שתי מכוניות יוצאות באותה שעה משתי ערים שהמרחק ביניהן 300 ק״מ, ונוסעות זו לקראת זו. מהירות האחת 70 קמ״ש ומהירות האחרת 80 קמ״ש. כעבור כמה שעות ייפגשו?
- (1)1.5
- (2)2
- (3)2.5
- (4)4
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
כשנוסעים זה לקראת זה, המרחק ביניהם קטן ב־70 + 80 = 150 ק״מ בכל שעה.
הזמן: 300 ÷ 150 = 2 שעות.
בדיקה: הראשונה עוברת 140 ק״מ והשנייה 160 ק״מ. ביחד 300.
רוכב אופניים נסע מביתו לעבודה במהירות 60 קמ״ש, וחזר באותה דרך במהירות 40 קמ״ש. מה הייתה מהירותו הממוצעת בכל הנסיעה?
- (1)50 קמ״ש
- (2)48 קמ״ש
- (3)45 קמ״ש
- (4)אי אפשר לדעת בלי אורך הדרך
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
אורך הדרך לא נתון, אבל הוא לא משנה את התשובה. מציבים אורך נוח שמתחלק גם ב־60 וגם ב־40: 120 ק״מ.
הלוך: 120 ÷ 60 = 2 שעות. חזור: 120 ÷ 40 = 3 שעות.
כל הדרך: 240 ק״מ. כל הזמן: 5 שעות. ממוצע: 240 ÷ 5 = 48 קמ״ש.
תשובה (1) היא המלכודת: ממוצע המהירויות. היא שגויה כי ברכיבה האיטית הוא בילה יותר זמן.
בעיות הספק (עבודה)
הנוסחה: כמות עבודה = הספק × זמן. הטריק: כשהעבודה היא ״עבודה אחת שלמה״ (למלא בריכה, לצבוע בית), מסמנים אותה כ־1. מי שמסיים את העבודה ב־6 שעות מבצע 1/6 ממנה בשעה. הכללים: כשעובדים ביחד, ההספקים מתחברים. ברז שמרוקן פועל בהספק שלילי. מלכודת: לחבר זמנים במקום הספקים. שני פועלים לא מסיימים ״בממוצע של הזמנים״.
צבע א׳ צובע דירה ב־6 שעות, וצבע ב׳ צובע את אותה דירה ב־3 שעות. בכמה שעות יצבעו אותה יחד?
- (1)1.5
- (2)2
- (3)4.5
- (4)9
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
הספק א׳: 1/6 דירה לשעה. הספק ב׳: 1/3 דירה לשעה.
ביחד: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 דירה לשעה.
הזמן: 1 ÷ (1/2) = 2 שעות.
בדיקת היגיון: יחד הם חייבים להיות מהירים יותר מהמהיר מביניהם (3 שעות). זה פוסל את (3) ואת (4).
ברז ממלא בריכה ריקה ב־4 שעות. פתח ניקוז מרוקן בריכה מלאה ב־6 שעות. אם פותחים את שניהם יחד כשהבריכה ריקה, כעבור כמה שעות תתמלא?
- (1)2.4
- (2)5
- (3)10
- (4)12
לתשובה ולהסבר
התשובה: (4)
הברז: +1/4 בריכה לשעה. הניקוז: −1/6 בריכה לשעה.
ביחד: 3/12 − 2/12 = 1/12 בריכה לשעה.
הזמן: 12 שעות.
תשובה (1) היא מה שמתקבל אם מחברים את ההספקים במקום להחסיר.
אחוזים, רווח והנחה
השיטה: עובדים עם מכפילים. עלייה של p אחוזים היא כפל ב־(1 + p/100), ירידה היא כפל ב־(1 − p/100). שינויים רצופים מכפילים זה בזה. רווח מחושב בדרך כלל ביחס למחיר העלות, והנחה ביחס למחיר המחירון, אלא אם נאמר אחרת. מלכודות:
- אחוז ממה? ״A גדול מ־B ב־25%״ אינו ״B קטן מ־A ב־25%״. הבסיס הוא המספר שאחרי ״מ־״.
- כדי לחזור למחיר המקורי מחלקים במכפיל, לא מורידים את אותו אחוז.
- נקודות אחוז אינן אחוזים: עלייה מ־10% ל־15% היא עלייה של 5 נקודות אחוז, אבל של 50%.
אחרי התייקרות של 25%, מחירו של מעיל הוא 150 שקלים. מה היה מחירו לפני ההתייקרות?
- (1)112.5
- (2)120
- (3)125
- (4)187.5
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
המחיר המקורי כפול 1.25 שווה 150.
המחיר המקורי: 150 ÷ 1.25 = 120.
בדיקה: 25% מ־120 הם 30, ו־120 + 30 = 150.
תשובה (1) מתקבלת אם מורידים 25% מ־150. זו הטעות הנפוצה: 25% מ־150 גדולים מ־25% מ־120.
סוחר קנה מוצר ב־200 שקלים וקבע לו מחיר מחירון גבוה ב־40% ממחיר הקנייה. בסוף העונה מכר אותו בהנחה של 25% ממחיר המחירון. מה היה הרווח שלו, באחוזים ממחיר הקנייה?
- (1)5%
- (2)10%
- (3)15%
- (4)הוא הפסיד
לתשובה ולהסבר
התשובה: (1)
מחיר המחירון: 200 × 1.4 = 280.
מחיר המכירה: 280 × 0.75 = 210.
הרווח: 210 − 200 = 10 שקלים, כלומר 10 ÷ 200 = 5%.
בקיצור: 1.4 × 0.75 = 1.05. תשובה (3), 15%, היא ההפרש 40 − 25, שאינו נכון כי אחוזים לא מתחסרים.
תערובות ותמיסות
השיטה: עוקבים אחרי החומר שכמותו לא משתנה. כשמוסיפים מים לתמיסת מלח, כמות המלח נשארת, ורק הכמות הכוללת גדלה. ריכוז = כמות החומר ÷ כמות התמיסה כולה. מלכודת: לחשב את הריכוז החדש ביחס לכמות הישנה, או לשכוח שהוספת מים מגדילה את המכנה.
במיכל 40 ליטר של תמיסה שבה 10% מלח. כמה ליטרים של מים יש להוסיף כדי שריכוז המלח יהיה 8%?
- (1)2
- (2)8
- (3)10
- (4)50
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
כמות המלח: 10% מ־40 = 4 ליטרים, והיא לא משתנה.
אחרי ההוספה, 4 ליטרים הם 8% מהתמיסה, ולכן התמיסה כולה 4 ÷ 0.08 = 50 ליטרים.
מוסיפים 50 − 40 = 10 ליטרים.
תשובה (4) היא כמות התמיסה הסופית, לא כמות המים שהוסיפו.
יחסים ופרופורציה
השיטה: ״חלקים״. יחס 3 : 5 פירושו שהשלם מחולק ל־8 חלקים שווים. אם השלם 32, כל חלק 4. מלכודת: יחס אינו כמות. ״יחס 3 : 5״ לא אומר שיש 3 ו־5, ואם מוסיפים לאחד הצדדים, היחס משתנה.
בכיתה 32 תלמידים, והיחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא 3 : 5. כמה בנים צריכים להצטרף לכיתה כדי שמספר הבנים יהיה שווה למספר הבנות?
- (1)2
- (2)5
- (3)8
- (4)12
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
יש 3 + 5 = 8 חלקים, וכל חלק 32 ÷ 8 = 4 תלמידים.
בנים: 3 × 4 = 12. בנות: 5 × 4 = 20.
כדי להשתוות צריכים להצטרף 20 − 12 = 8 בנים.
תשובה (4) היא מספר הבנים בכיתה עכשיו.
בעיות גילאים
השיטה: טבלה עם שורה לכל אדם ועמודות ״עכשיו״, ״לפני n שנים״ ו״בעוד n שנים״. מוסיפים או מחסירים את אותו מספר שנים לכולם. עובדה שימושית: ההפרש בין הגילים של שני אנשים לא משתנה לעולם. מלכודת: לבנות משוואה על ״בעוד 12 שנה״ ולשכוח להוסיף את 12 לשני האנשים.
גיל האב כיום גדול פי 3 מגיל בנו. בעוד 12 שנה, גיל האב יהיה גדול פי 2 מגיל בנו. בן כמה האב כיום?
- (1)12
- (2)24
- (3)36
- (4)48
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
מסמנים את גיל הבן כיום s, ואז גיל האב 3s.
בעוד 12 שנה: הבן s + 12, האב 3s + 12.
המשוואה: 3s + 12 = 2(s + 12) = 2s + 24, ולכן s = 12.
גיל האב: 3 × 12 = 36.
בדיקה: בעוד 12 שנה האב בן 48 והבן בן 24. פי 2. תשובה (1) היא גיל הבן, לא האב.
קומבינטוריקה: כמה אפשרויות יש
עיקרון הכפל: אם בשלב הראשון יש a אפשרויות ובשני b, יש a × b אפשרויות בסך הכול. השאלה החשובה: האם הסדר חשוב?
| מצב | מספר האפשרויות | דוגמה |
|---|---|---|
| סידור של n פריטים שונים בשורה | n! | 4 ספרים על מדף: 24 |
| בחירת k מתוך n, הסדר חשוב, בלי חזרות | n × (n − 1) × … (k גורמים) | יו״ר וסגן מתוך 5: 5 × 4 = 20 |
| בחירת k מתוך n, הסדר לא חשוב | הסידורים ÷ k! | זוג נציגים מתוך 5: 20 ÷ 2 = 10 |
| k בחירות עם חזרות, n אפשרויות בכל אחת | n בחזקת k | קוד של 3 ספרות: 10³ = 1,000 |
בדף הנוסחאות מופיעה רק העצרת. כשהמספרים קטנים, רישום מסודר של כל האפשרויות הוא לגיטימי ולפעמים הכי בטוח.
כמה מספרים תלת־ספרתיים אפשר ליצור מהספרות 1, 2, 3, 4, 5, אם אסור לחזור על ספרה?
- (1)10
- (2)15
- (3)60
- (4)125
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
לספרת המאות 5 אפשרויות, לספרת העשרות נשארו 4, ולספרת האחדות 3.
5 × 4 × 3 = 60.
הסדר חשוב כאן (123 שונה מ־321), ולכן לא מחלקים.
תשובה (4) מתאימה למצב שבו מותר לחזור על ספרות (5³), ותשובה (1) לבחירה בלי חשיבות לסדר.
הסתברות
ההגדרה: כשכל התוצאות שוות הסתברות, הסתברות = מספר התוצאות הרצויות ÷ מספר כל התוצאות. הכללים: הסתברות ש״גם וגם״ קורים, באירועים בלתי תלויים, היא מכפלת ההסתברויות. בהוצאה בלי החזרה, המכנה והמונה קטנים אחרי כל הוצאה. ״לפחות אחד״ מחשבים כמעט תמיד דרך המשלים: 1 פחות ההסתברות ש״אף אחד״. בדיקת שפיות: הסתברות תמיד בין 0 ל־1.
בשקית 4 כדורים אדומים ו־6 כחולים. מוציאים באקראי שני כדורים, בזה אחר זה, בלי להחזיר. מה ההסתברות ששניהם אדומים?
- (1)4/25
- (2)2/15
- (3)1/5
- (4)2/5
לתשובה ולהסבר
התשובה: (2)
הסיכוי שהראשון אדום: 4/10.
אחריו נשארו 3 אדומים מתוך 9, ולכן הסיכוי שגם השני אדום: 3/9.
4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15.
תשובה (1), 4/25, היא (4/10)², התשובה למצב שבו מחזירים את הכדור.
מטילים קובייה הוגנת פעמיים. מה ההסתברות לקבל 6 לפחות פעם אחת?
- (1)1/3
- (2)1/6
- (3)11/36
- (4)25/36
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
המשלים: לא לקבל 6 באף הטלה. בכל הטלה הסיכוי לזה 5/6, ובשתיהן 5/6 × 5/6 = 25/36.
לפחות פעם אחת: 1 − 25/36 = 11/36.
תשובה (1), 1/6 + 1/6, סופרת פעמיים את המקרה ששתי ההטלות הן 6. תשובה (4) היא ההסתברות ההפוכה.
ממוצעים
הכלי המרכזי: סכום = ממוצע × מספר האיברים. כמעט כל שאלת ממוצע נפתרת כשעוברים מממוצעים לסכומים. ממוצע משוקלל: כשמאחדים קבוצות בגדלים שונים, הממוצע המשותף קרוב יותר לממוצע של הקבוצה הגדולה. מלכודת: לחשב ממוצע של ממוצעים.
בכיתה א׳ 20 תלמידים וממוצע הציונים 75. בכיתה ב׳ 30 תלמידים וממוצע הציונים 80. מה ממוצע הציונים של כל 50 התלמידים?
- (1)77
- (2)77.5
- (3)78
- (4)79
לתשובה ולהסבר
התשובה: (3)
סכום הציונים בכיתה א׳: 20 × 75 = 1,500.
בכיתה ב׳: 30 × 80 = 2,400.
ביחד: 3,900 ÷ 50 = 78.
תשובה (2) היא ממוצע הממוצעים. היא שגויה כי בכיתה ב׳ יש יותר תלמידים, והממוצע המשותף נמשך לכיוונה.
ממוצע הציונים של נועה בארבעה מבחנים הוא 82. איזה ציון היא צריכה במבחן החמישי כדי שהממוצע של חמשת המבחנים יהיה 85?
- (1)85
- (2)88
- (3)94
- (4)97
לתשובה ולהסבר
התשובה: (4)
הסכום הנדרש בחמישה מבחנים: 5 × 85 = 425.
הסכום בארבעת המבחנים: 4 × 82 = 328.
הציון הדרוש: 425 − 328 = 97.
בדרך מהירה: כל אחד מארבעת המבחנים ״חסר״ 3 נקודות, ביחד 12. המבחן החמישי צריך 85 + 12 = 97.
המלכודות שחוזרות בכל המשפחות
- לענות על שאלה אחרת: מצאתם את גיל הבן, אבל שאלו על האב. תשובת הביניים כמעט תמיד מופיעה בין האפשרויות.
- יחידות מעורבות: דקות ושעות, מטרים וקילומטרים, שקלים ואגורות.
- ממוצע של מהירויות או של ממוצעים: כמעט תמיד שגוי כשהזמנים או הקבוצות לא שווים.
- אחוזים שמתחברים או מתחסרים: שינויים באחוזים מכפילים, לא מחברים.
- סדר חשוב או לא: אותה בחירה נספרת פעמיים, או שסידורים שונים נספרים כאחד.
- תוצאה לא הגיונית: מספר אנשים לא שלם, זמן משותף ארוך מזמן של עובד יחיד, הסתברות גדולה מ־1. אם קיבלתם כזו, חזרו למשוואה.
טבלת סיכום
| משפחה | הכלי המרכזי | המלכודת הנפוצה |
|---|---|---|
| תנועה | דרך = מהירות × זמן; לקראת: חיבור מהירויות | מהירות ממוצעת כממוצע של מהירויות |
| הספק | עבודה שלמה = 1; חיבור הספקים | חיבור זמנים במקום הספקים |
| אחוזים ורווח | מכפילים; רווח ביחס לעלות | הורדת אותו אחוז כדי לחזור למחיר המקורי |
| תערובות | החומר שלא משתנה | לשכוח שהמכנה גדל |
| יחסים | שיטת החלקים | להתייחס ליחס ככמות |
| גילאים | טבלה עכשיו־אז; ההפרש קבוע | להוסיף שנים רק לאחד |
| קומבינטוריקה | עיקרון הכפל; חילוק ב־k! כשהסדר לא חשוב | לטעות בשאלה אם הסדר חשוב |
| הסתברות | רצויות ÷ כולן; משלים ל״לפחות אחד״ | לשכוח שבלי החזרה המכנה קטן |
| ממוצעים | סכום = ממוצע × מספר | ממוצע של ממוצעים |
הדרך לשפר בעיות מילוליות היא לפתור הרבה מכל משפחה עד שהתבנית מזוהה בקריאה הראשונה, ואחר כך לתרגל אותן מעורבבות ובזמן. הסקירה המלאה של התחום, כולל דף הנוסחאות וניהול הזמן, נמצאת בחשיבה כמותית בפסיכומטרי, והגאומטריה במדריך הגאומטריה.
שאלות נפוצות
אילו בעיות מילוליות מופיעות בפסיכומטרי?
האם נוסחאות התנועה וההספק מופיעות בדף הנוסחאות?
מה עושים כשלא מצליחים לבנות משוואה?
כמה זמן להשקיע בבעיה מילולית אחת?
איך מתרגלים בעיות מילוליות בצורה יעילה?
מקורות
רוצים לתרגל? ב־Summit 800 יש מבחן מיון, תוכנית עד יום הבחינה ו־3,057 שאלות עם הסבר. לנסות בחינם